前缀、中缀、后缀文法

概述

它们都是对表达式的记法,因此也被称为前缀记法、中缀记法和后缀记法。它们之间的区别在于运算符相对与操作数的位置不同:前缀表达式的运算符位于与其相关的操作数之前;中缀和后缀同理。

举例:

(3 + 4) × 5 - 6 就是中缀表达式
- × + 3 4 5 6 前缀表达式
3 4 + 5 × 6 - 后缀表达式

中缀表达式(中缀记法)

中缀表达式是一种通用的算术或逻辑公式表示方法,操作符以中缀形式处于操作数的中间。中缀表达式是人们常用的算术表示方法。

虽然人的大脑很容易理解与分析中缀表达式,但对计算机来说中缀表达式却是很复杂的,因此计算表达式的值时,通常需要先将中缀表达式转换为前缀或后缀表达式,然后再进行求值。对计算机来说,计算前缀或后缀表达式的值非常简单。

前缀表达式(前缀记法、波兰式)

前缀表达式的运算符位于操作数之前。

前缀表达式的计算机求值

从右至左扫描表达式,遇到数字时,将数字压入堆栈,遇到运算符时,弹出栈顶的两个数,用运算符对它们做相应的计算(栈顶元素 op 次顶元素),并将结果入栈;重复上述过程直到表达式最左端,最后运算得出的值即为表达式的结果。

例如前缀表达式“- × + 3 4 5 6”:

  1. 从右至左扫描,将6、5、4、3压入堆栈;
  2. 遇到+运算符,因此弹出3和4(3为栈顶元素,4为次顶元素,注意与后缀表达式做比较),计算出3+4的值,得7,再将7入栈;
  3. 接下来是×运算符,因此弹出7和5,计算出7×5=35,将35入栈;
  4. 最后是-运算符,计算出35-6的值,即29,由此得出最终结果。

可以看出,用计算机计算前缀表达式的值是很容易的。

将中缀表达式转换为前缀表达式

遵循以下步骤:

  1. 初始化两个栈:运算符栈S1和储存中间结果的栈S2;
  2. 从右至左扫描中缀表达式;
  3. 遇到操作数时,将其压入S2;
  4. 遇到运算符时,比较其与S1栈顶运算符的优先级:
    4.1. 如果S1为空,或栈顶运算符为右括号“)”,则直接将此运算符入栈;
    4.2. 否则,若优先级比栈顶运算符的较高或相等,也将运算符压入S1;
    4.3. 否则,将S1栈顶的运算符弹出并压入到S2中,再次转到(4-1)与S1中新的栈顶运算符相比较;
  5. 遇到括号时:
    5.1. 如果是右括号“)”,则直接压入S1;
    5.2. 如果是左括号“(”,则依次弹出S1栈顶的运算符,并压入S2,直到遇到右括号为止,此时将这一对括号丢弃;
  6. 重复步骤(2)至(5),直到表达式的最左边;
  7. 将S1中剩余的运算符依次弹出并压入S2;
  8. 依次弹出S2中的元素并输出,结果即为中缀表达式对应的前缀表达式。

例如,将中缀表达式“1+((2+3)×4)-5”转换为前缀表达式的过程如下:

扫描到的元素 S2(栈底->栈顶) S1 (栈底->栈顶) 说明
5 5 数字,直接入栈
- 5 - S1为空,运算符直接入栈
) 5 - ) 右括号直接入栈
4 5 4 - ) 数字直接入栈
× 5 4 - ) × S1栈顶是右括号,直接入栈
) 5 4 - ) × ) 右括号直接入栈
3 5 4 3 - ) × ) 数字
+ 5 4 3 - ) × ) + S1栈顶是右括号,直接入栈
2 5 4 3 2 - ) × ) + 数字
( 5 4 3 2 + - ) × 左括号,弹出运算符直至遇到右括号
( 5 4 3 2 + × - 同上
+ 5 4 3 2 + × - + 优先级与-相同,入栈
1 5 4 3 2 + × 1 - + 数字
到达最左端 5 4 3 2 + × 1 + - S1中剩余的运算符

因此结果为“- + 1 × + 2 3 4 5”。

后缀表达式(后缀记法、逆波兰式)

后缀表达式与前缀表达式类似,只是运算符位于操作数之后。

后缀表达式的计算机求值

与前缀表达式类似,只是顺序是从左至右:

从左至右扫描表达式,遇到数字时,将数字压入堆栈,遇到运算符时,弹出栈顶的两个数,用运算符对它们做相应的计算(次顶元素 op 栈顶元素),并将结果入栈;重复上述过程直到表达式最右端,最后运算得出的值即为表达式的结果。

例如后缀表达式“3 4 + 5 × 6 -”:

  1. 从左至右扫描,将3和4压入堆栈;
  2. 遇到+运算符,因此弹出4和3(4为栈顶元素,3为次顶元素,注意与前缀表达式做比较),计算出3+4的值,得7,再将7入栈;
  3. 将5入栈;
  4. 接下来是×运算符,因此弹出5和7,计算出7×5=35,将35入栈;
  5. 将6入栈;
  6. 最后是-运算符,计算出35-6的值,即29,由此得出最终结果。

将中缀表达式转换为后缀表达式

与转换为前缀表达式相似,遵循以下步骤:

  1. 初始化两个栈:运算符栈S1和储存中间结果的栈S2;
  2. 从左至右扫描中缀表达式;
  3. 遇到操作数时,将其压入S2;
  4. 遇到运算符时,比较其与S1栈顶运算符的优先级:
    4.1. 如果S1为空,或栈顶运算符为左括号“(”,则直接将此运算符入栈;
    4.2. 否则,若优先级比栈顶运算符的高,也将运算符压入S1(注意转换为前缀表达式时是优先级较高或相同,而这里则不包括相同的情况);
    4.3. 否则,将S1栈顶的运算符弹出并压入到S2中,再次转到(4-1)与S1中新的栈顶运算符相比较;
  5. 遇到括号时:
    5.1. 如果是左括号“(”,则直接压入S1;
    5.2. 如果是右括号“)”,则依次弹出S1栈顶的运算符,并压入S2,直到遇到左括号为止,此时将这一对括号丢弃;
  6. 重复步骤(2)至(5),直到表达式的最右边;
  7. 将S1中剩余的运算符依次弹出并压入S2;
  8. 依次弹出S2中的元素并输出,结果的逆序即为中缀表达式对应的后缀表达式(转换为前缀表达式时不用逆序)。

例如,将中缀表达式“1+((2+3)×4)-5”转换为后缀表达式的过程如下:

扫描到的元素 S2(栈底->栈顶) S1 (栈底->栈顶) 说明
1 1 数字,直接入栈
+ 1 + S1为空,运算符直接入栈
( 1 + ( 左括号,直接入栈
( 1 + ( ( 同上
2 1 2 + ( ( 数字
+ 1 2 + ( ( + S1栈顶为左括号,运算符直接入栈
3 1 2 3 + ( ( + 数字
) 1 2 3 + + ( 右括号,弹出运算符直至遇到左括号
× 1 2 3 + + ( × S1栈顶为左括号,运算符直接入栈
4 1 2 3 + 4 + ( × 数字
) 1 2 3 + 4 × + 右括号,弹出运算符直至遇到左括号
- 1 2 3 + 4 × + - -与+优先级相同,因此弹出+,再压入-
5 1 2 3 + 4 × + 5 - 数字
到达最右端 1 2 3 + 4 × + 5 - S1中剩余的运算符

因此结果为“1 2 3 + 4 × + 5 -”(注意需要逆序输出)。

前缀文法 https://zh.wikipedia.org/wiki/波兰表示法
中缀文法 https://zh.wikipedia.org/wiki/中缀表示法
后缀文法 https://zh.wikipedia.org/wiki/逆波兰表示法