ML 之 线性代数 (1) 方程组的几何解释

多元 (n) 一次方程组,可以看作由系数组成的 n 阶矩阵 与 一个 n 维空间的向量相乘,得到这个空间的另一个向量,记作 Ax=b

如:

2x -  y      = 0
-x + 2y - z = -1
- 3y + 4z = 4

可以看做

$$
\left[\begin{matrix}2 & -1 & 0 \\ -1 & 2 & -1 \\ 0 & -3 & 4 \end{matrix}\right] * \left[\begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix} 0 \\ -1 \\ 4 \end{matrix}\right]
$$

根据三个方程组做出的图形叫做 Row Picture,每一个方程都代表着三维空间的一个平面,方程组的解就是这三个平面的交点。

对应所谓的 Row Picture,也有 Column Picture, 这里引入 矩阵 * 向量的运算方式,可以得到

$$
x\left[\begin{matrix}2 \\ -1 \\ 0 \end{matrix}\right] + y\left[\begin{matrix} -1 \\ 2 \\ -3 \end{matrix}\right] + z\left[\begin{matrix} 0 \\ -1 \\ 4 \end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix} 0 \\ -1 \\ 4 \end{matrix}\right]
$$

Column Picture 的几何意义是,对于矩阵的三个列向量,有一个组合 (combination) 能到向量 b。

注意区分 Row PictureColumn Picture

  1. Row Picture 对于三维求的是平面的交点,对于 n 维求的是 n 维空间的交点,复杂度非常高。
  2. Column Picture 求的是 n 维空间内 n 个向量 ( 线性 ) 的一个组合情况,使之能得到 n 维空间内的另一个向量;这是线性代数的核心思想。

对于线性方程 Ax=b 是否有唯一解的问题:

  • 取决于 矩阵 A(n 阶) 的 n 个列向量的组合是否能够铺满整个 n 维空间,如果能铺满则存在这样一个唯一的解;而这样的矩阵称之为非奇异矩阵,可逆。
  • 对于奇异矩阵,即列向量的组合无法铺满整个 n 维空间,根据情况,假如有两个向量处于同一维度 (没有贡献) 或与其它向量相关,则矩阵 A 的列向量组合可以铺满 n-1 维空间,有三个 (即有两个向量无贡献),则矩阵 A 的列向量组合可以铺满 n-2 维空间,依次类推。

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